Koub Enfeksyon nan model SIR yo

Se pa tout sa nou ka konte ki konte, e sa pa tout sa ki konte ke nou ka konte.

William Bruce Cameron (1963) “Informal Sociology: A Casual Introduction to Sociological Thinking”

Depi komansman kriz pandemik ki lye ak virus COVID-19 lan, gen anpil konsèy ke pèsonel medikal ak sante piblik yo bay ki mansyone lide “plat koub la”. Koub sila a, de manyè konseptyèl, se solisyon yon ekwasyon diferansyèl ki se reprezantasyon matematik yon fanmi de modèl epidemyolojik ki rele SIR.

Jodi a nan An Nou Pale Syans, nou pral eseye entrodui ak konprann kèk aspè nan fondman matematik modèl sa yo. N ap wè kisa koub la modelize , epi ki kote li soti. Lè fini n ap fè yon ti rale sou istwa modèl sa yo, apre sa fè yon ti pase sou divèsite nati matematik yo. Pandan n ap fè tout sa, li enpòtan pou nou montre limit modèl sa yo, san nou pa wete sou pouki yo enpòtan.

Anvan nou koumanse li enpòtan pou mwen eksplike kisa matematik ye pou mwen. Matematik se yon okazyon pou nou konvèse. Se pa yon dògm. Se vre ke konvèsasyon an gen anpil strikti, ki parèt trè rijid. Men se yon konvèsayon li ye kanmenm, e rijidite a ede konvèsasyon an koumanse; se pa yon baboukèt. Apre konvèsasyon an anklannche, pi bèl kote li ka ale yo, se rout ki koumanse pa retire enpe lan restriksyon yo. Egal mwen ta vle nou li sa map ekri yo kòm yon envitasyon, pou nou reflechi ansanm, ak matematik, ak enfòmasyon, e lòt done numerik. Epi tou, menm si nou wè gen ekwasyon, yo ede nan refleksyon nou ap fè ansanm la, men ou pa blije konprann tout ekwasyon yo nèt pou ou byen konprann e reflechi sou atik la. Imaj (figu yo) ak tèks la ap ba nou ase enfòmasyon pou nou swiv refleksyon an ak mwen.

Lide de baz model SIR yo

Poukisa nou itilize yon model

Anvan nou pale de lide de baz modèl SIR yo, an nou etabli poukisa nou ka enterese nan modèl matematik sa yo. An jeneral, yon modèl se yon reprezantasyon yon reyalite. Pa egzanp, yon achitèk ka fè pou yon kliyan, yon modèl de batiman ke kliyan te mande konpani konstriksyon an fè. Modèl lan pèmèt:

• kliyan an gen yon ase bon reprezantasyon vizyèl de batiman an;
• kliyan an diskite ak konpani an sou seten aspè de batiman an;
• kliyan konprann kijan de bagay li vle ajoute oswa retire lan plan kay lan pou li pa afekte konstriksyon an;

tout sa anvan okenn beton koule. Li enpòtan pou nou remake ke modèl ke achitèk la fè a, pa pran an konsiderasyon seten bagay ki pa nesesè, tankou bri lan lari toupre batiman an, ou byen jan van vante kote batiman an ap ye a. Nou remake tou ke sa pa deranje diskisyon yo, ke modèl lan de lwen pi piti ke vre batiman an. Toutfwa, fok nou soulve tou ke modèl achitèk lan, makèt la, pa ka enfòme ou asire kliyan an sou rezistans parasismik ou siklonik batiman an. Gen de aspè ki enpòtan de sistèm w ap modelize a ke modèl lan inyore, pou ka konprann de lot aspè de sistèm lan.

Sonje ke tout modèl erone, kesyon pratik lan se, ki kantite erone fò k yo erone pou yo sispann itil.

George Box (1987) “Empirical Model-Building and Response Surface”

Jounal Ameriken New York Times lan fè yon trè bon travay pou konte ka enfeksyon COVID-19 yo, e lanmò ki lye a ka sa yo, nan chak eta, depi koumansman epidemi a o Zetazini. Nan figu ki swiv yo, mwen fè yon graf, pou 4 eta diferan, de enfeksyon (kòm pousantaj popilasyon eta a) e de lanmò pa rapò a a ki lè yo rive.

Nou ka wè pa egzanp (an ble) ke apeprè 0.5% popilasyon eta New York lan te repòte enfeksyon an nan koumansman Avril, e ke nan Wisconsin (kote mwen rete a), plis ke 35 moun te peri de maladi a (an oranj).

Se de koub ble (pousantaj ki enfekte) a ke moun ap pale le yo pale de plat koub lan. Men done yo ban nou sèlman yon pati de koub lan. Nou ta renmen ka gen yon lide de res koub lan. Sepandan nou paka annik tann ke done yo rive, paske nou bezwen koub yo pou enfòmen de desizyon. Egal nou ta renmen ka konprann kijan koub sa yo evolye, e analize evolisyon sa yo sou diferan paramèt. Se egzakteman sa nou ka koumanse fè ak modèl SIR yo.

Lide de baz lan

Modèl SIR la, se yon modèl Byoloji Matematik, ki plase presizeman nan epidemyoloji matematik. Epidemyoloji se pati lasyans ki etidye ak analize, ki moun, ki lè, ki kote, epi kisa ki detèmine kouman yon maladi evolye nan yon popilasyon. Epidemyolojis yo bay maladi de non diferan, depandamman de kantite moun yo panse ki trape li, e de kouman li rete nan yon popilasyon:

• Andemi: se yon maladi ki ka rete nan yon ti pati lan popilasyon an;
• Epidemi: se yon maladi ki afekte yon paket moun;
• Pandemi: se yon maladi ki afekte tout moun sou latè.

Epidemi ki lye a COVID-19 lan se yon pandemi.

Lan epidemyoloji matematik, pratik la se ke ou itilize de konsèp matematik (ekwasyon diferansyel, prosesus stokastik) pou modelize de dinamik de popilasyon a echel makroskopik; pa egzanp kijan yon maladi ki kontajye propaje.

Pou yo fè sa, yo imajine ke popilasyon an pataje an 3 group:

• moun ki poko janm malad yo, S(t) (an angle susceptible), lè tan an rive t;
• moun ki gen maladi a, sa vle di ki enfekte I(t) (an angle infected), lè tan an rive t;
• epi moun nou pa bezwen konsidere ankò lan sistèm lan R(t) (an angle removed), lè tan an rive t.

Donk chak fonksyon sa yo di nou konbyen moun ki nan chak group le nou a tan . Lide prensipal se ke li posib pou nou dekri chanjman lan chak group sa yo si nou annik itilize 3 group sa yo:

• chanjman lan group moun ki pat janm enfekte yo S, se pousantaj lan yo ki vinn enfekte;
• chanjman lan group moun ki geri/iminize/mouri R, se pousantaj lan moun ki te enfekte yo ki geri/iminize/mouri ;
• chanjman lan group moun ki enfekte yo I, se diferans de lòt chanjman yo.

Lide chanjman an nan matematik, sitou nan yon branch matematik ki rele analiz, se yon lide ki trè devlope e trè nuanse. Yon vèsyon de li se yon konsèp ki rele derivasyon. Derivasyon se yon operasyon matematik ki fet sou fonksyon. Chanjman nou sot dekri yo, nou ka itilize yo pou nou ekri de ekwasyon diferansyel, i.e. de ekwasyon kote varyab la se yon fonksyon. Solisyon se donk yon fonksyon, oswa nan ka pa nou a 3 fonksyon, {S(t), I(t), R(t)}.

Yon ti-Model Analitik, pou entrodwi τ ak r₀

An nou koumanse tou piti. Ekwasyon Diferansyèl ou jan rekalsitran, egal yo pa toujou ka rezoud alamen. Gen yon modèl ki sanble modèl SIR ke nou ka rezoud alamen, si ou gen eksperyans ak ekwasyon diferansyèl. Modèl lan se yon modèl pou dezentegrasyon radyoaktif 2 patikil, men nou pral adapte li pou nou kòm aproksimasyon senp modèl SIR yo:

• τ: se yon paramèt epidemyolojik ki depann de maladi a; se tan mwayen pou yon moun ki enfekte vin geri/iminize/mouri. Pou COVID-19 se apeprè 14 jou.
• r₀: se yon lòt paramèt epidemyolojik, ki mezire nivo kontajyon li. Paramèt sa depann de maladi a, men li depann tou de dispozisyon sante publik ki mete an plas. Plis li wo, plis maladi a kontajye. Men mezi sanitè tankou distansyasyon sosyal, lave men, miz an karanten, diminye . Pou COVID-19 ant 1.5 e 3.5, ou byen petèt ant 1.4 e 3.9.

Men yon ti tablo (mwen kopye done sa yo de wikipedia) pou ba ou yon lide pou de lòt maladi kontajye:

maladi	r0
roujol	12 a 18
varisel	10 a 12
rubeyol	5 a 7
oreyon	5 a 7
varyol	3.5 a 6
SARS	2 a 5
rum	2 a 3
COVID-19	1.4 a 3.9
grip	0.9 a 2.1

Solisyon modèl sila ban nou premye vesyon koub enfekte yo:

Fonksyon i(t) a di ou ki pousantaj moun modèl la di ki enfekte pou chak valè t ke ou founi. Li enpòtan pou nou remake, ke lè koub lan monte preske 0.6, sa vle di ke modèl lan predi ke jou sila, 60% popilasyon an ap enfekte. Jou sa a, se jou pik maladi a. Nou pral wè tout suit kijan r₀ afekte pousantaj pik sila. Men anvan nou rive sou sa, mwen vle su ke nou konprann ke modèl lan pa di ke se selman 60% moun kap enfekte. O fèt, pousantaj kumulatif de moun ki enfekte yo (pou model sa a), se fonksyon sa a ki bay li:

Nou itilize yon ti kalkil pou nou etidye fonksyon i(t) a:

Nou ka plat koub la si nou pran mezi tankou distans sosyal, ki gen kòm konsekans diminye r₀, ki li menm diminye pik enfekte yo. Rezon fondamantal pèsonèl medikal ak sante publik yo mande nou ede yo plat koub enfeksyon an, se paske:

1. Mwens moun malad, vle di mwens moun ki pa peri de maladi a.
2. Lan tout peyi, pèsonèl medikal la gen yon kapasite maksimal, si tout lopital yo plen ak moun ki malad a koz COVID-19, lopital sa yo paka fè anyen dòt;
3. Moun ki pi ekspoze lan yon kriz sanitè, se pèsonèl medikal yo. Nan kad yon maladi kontajye, nou dwe fè tout posib nou pou nou minimize risk ke yo vinn malad. Plis pèsonèl sante publik lan afekte pa epidemi a, mwens populasyon a ka goumen kont epidemi.

Model SIR Standar lan

Tout bagay dwe osi senp ke posib, men pa pi senp ke sa

Albert Einstein (atribuye 1962) TIME Magazine

Koulye a ke nou gen yon lide de sa koub la ye, e sa li vle di, nou ka al pi lwen ke ti modèl aproksimatif ke nou sot wè a. Ti modèl nou a te twò senp. Pi gwo defo li genyen se ke li sigjere ke chanjman lan moun ki poko gen maladi a, pa depann de nivo enfeksyon an nan popilasyon an. Men ou pa bezwen se yon doktè pou konprann ke plis ou an kontak ak moun ki gen yon maladi kontajye, plis ou gen chans vin enfekte. An nou al cheche yon modelizasyon ki pi fidel a la reyalite.

Istwa Modelizasyon Epidemi

Modelizasyon matematik de epidemi gen yon ti istwa ase long. Depi an 1760, yon matematisyen Suyis, Daniel Bernoulli, te itilize modelizasyon yo, pou li konprann merit vaksinasyon nan kad motalite ki lye ak epidemi varyol.

Youn lan premye modèl matematik pou epidemi, se te yon modèl ke statistisyen Lowell Reed ak epidemyologis Wade Hampton Frost te pwopoze an 1928 nan de klas yo tap anseye Johns Hopkins University. Modèl sa te baze sou de konsèp matematik ke nou jwenn nan pwobabilite ke yo rele de pwosesus stokastik, presizeman Reed ak Frost fòmile modèl yo a an te ke yon pwosesis stokastik ki rele yon chèn Markov. Modèl Reed-Frost lan pati de lide de baz lan, separe popilasyon an group {S(t), I(t), R(t)}, men koulye a pa egzanp, modèl la pa di ou egzakteman konbyen moun kap enfekte I(t) a t, men li di ou de preferans pwobabilite ke kantite moun lan se 0, 1, 2, 3, 4, …, p0, p1, p2, p3, p4, …; le fèt ke pwosesus lan se yon chèn Markov presize ke pa egzanp se yon fonksyon de S(t-1), I(t-1), R(t-1). A nou di ke q se pwobabilite pou pa pran maladi a lè ou kontre ak yon moun ki enfekte, an pwobabilite nou ekri model Reed-Frost lan:

nou di ke I(t) gen yon distribusyon binomyal.

Modèl sila enteresan paske li pi fidèl a vre dinamik yon epidemi. Chak moun ki gen maladi a, lè yo pre yon moun ki poko janm gen maladi a, yo gen yon chans pou yo enfekte moun sila. Plis entèraksyon long, plis yo te pre, plis moun malad la touse, plis chans lan monte ve yon sètitud; men se kanmenm yon chans. Modèl ki baze sou ekwasyon diferansyel yo, modèl detèminis yo, rezime enfòmasyon sila, e alòs pèdi lan fidelite yo. Men sa modèl Reed-Frost akeri lan fidelite li peye li ak difikilte. An jeneral an matematik, li pi difisil pou konprann yon model detèminis, ke yon modèl stokastik; donk malgre modèl stokastik lan gendwa pi rich e subtil, ou gen tandans konprann e dekouvri plus nuans avèk modèl detèminis yo.

Model SIR Standar lan

Donk modèl epidemyoloji SIR standar lan se yon modèl ke biochimis Kermack ak epidemyologis McKendrick entroduyi an 1927. Se yon modèl ekwasyon diferansyèl, donk detèminis. Li pati de lide de baz lan, men kontrèman a modèl desentegrasyon 2 patikil radyoaktif lan, li entrodui ke chanjman lan moun ki poko gen maladi a, depann de nivo enfeksyon an nan popilasyon an. Ekwasyon diferansyèl lan se:

Jan nou te di lan koumansman an, ekwasyon diferansyèl yo rekalsitran, egal nou paka rezoud ekwasyon sila alamen. Presizeman, ekwasyon sila rekalsitran paske li pa lineyè, kontrèman a ekwasyon radyoaktivite nou a. Lè yon ekwasyon diferansyèl lineyè, nou ka itilize strikti aljebrik sila pou nou rezoud li alamen. Malerezman, model Kermack-McKendrick lan non-lineyè.

Men, nou ka kanmenm itilize yon lot apwòch. Nou itilize yon apwòch nimerik, kote nou itilize yon algoritm ke nou pwograme yon òdinate pou egzekite li. Teknik nimerik nou itilize pou nou jwenn solisyon modèl Kermack-McKendrick lan se yon algorithm ki rele metòd Runge-Kutta ke 2 matematisyen Alman Runge ak Kutta devlope nan koumansman 20tyèm syèk lan.

Youn lan premye bagay mwen vle chita sou li, se ke, solisyon ekwasyon Kermack-McKendrick yo pa menm ak solusyon modèl radyoaktivite yo:

• Tou 2 montre tandans kwasans rapid lan lè pa gen okenn mezi sante piblik ki pran, sepandan modèl radyoaktivite a montre ke jiska 60% de popilasyon an enfekte aloske modèl SIR ki pi fidèl lan montre pik enfeksyon an rive mwens ke 40%.
• Pi enpotan toujou, modèl SIR montre efikasite mezi sante publik yo ka genyen, lan jan koub plat lan chanje.

Mwen ta vle chita sou 2 bagay anvan nou vanse:

• Nan koub ki nan figu ki anle paragraf sa a, nou wè ke koub la rive monte jiska anrivon 0.35. Sa vle di ke a tan sila (t ant 40 e 90), modèl Kermack-McKermick lan di ke aproksimativman 35% popilasyon an ap enfekte. Li enpòtan pou nou konprann ke sa pa vle di ke modèl la di ke se 35% popilasyon selman kap enfekte. Tankou lan model radyoaktivite a, se pik lan selman ke model la di kap nan zanviron 35%, pandan epidemi a, pousantaj total de moun ki enfekte yo, se sufas ki anban koub enfeksyon an,

• Mwen pa yon epidemyolojis. Koub nou prezante la yo, se de modèl de baz. Epidemyolojis yo utilize de modèl ki de lwen pi fidèl a reyalite a toujou. Youn lan rezon ki fè mwen prezante modèl radyoaktivite a, anvan model Kermack-McKermick, se nou ka imajine diferans ant modèl Kermack-McKermick lan (ki date de 1927) e modèl epidemyologis yo ap itilize an 2020. Yon jan pou nou estime diferans sila, se pou nou konsidere diferans ant model radyoaktivite a e model standar SIR lan.

Limit model Kermack-McKermick lan

Yon dènye bagay mwen ta vle soulve, se limit modelizasyon an jeneral nan kontèks kantifikasyon yon epidemi, e limit apwòch ki itilize ekwasyon diferansyèl yo.

Done ou vle, e done ou jwenn

Modelizasyon an jeneral supoze ke ou ka mezire presizeman, e jwenn done ki pèmèt ou estime paramèt modèl ou a. Pwoblèm ke sa prezante lan kad yon maladi, seke se pat tout moun ki malad ke ou arive konte. Gen plizye rezon ki ka eksplike sa:

• Pou konte ou moun malad, fò k ou ka konnen ke li gen maladi a. Konte lan kad sa a, se yon diagnostik medikal. Kelkeswa jan diagnostik medikal sila fèt, li pa egzakteman senp ni bon mache. Se pa tout moun ki gen aksè a li. Donk menm si yon moun ta panse li gen maladi a, pou ou konte li, fò k ou jwenn li e diagnostike li.
• Yon lòt bagay ki pwoblematik, se ke gen de moun ki malad ki pa santi yo malad (yo pa gen sentòm maladi a). Si ou konte sou moun ki panse yo malad pou yo vin fè test pou maladi a, ou rate tout moun ki pa gen sentòm yo.

Done ou vle a se kantite moun ki enfekte yo men done ou jwenn lan se kantite moun ou diagnostike ki enfekte.

Omojeneyite

Anpil modèl matematik, e modèl ki itilize ekwasyon diferansyèl an patikilye, sipoze yon omojeneyite nan sistèm yo modelize yo. Konkrètman, lan modèl Kermack-McMermick lan, pa gen okenn distenksyon demografik, geografik, ou ekonomik. Men nou konnen ke se pa konsa sante publik mache.

• Modèl la pa pran an konsiderasyon non plis diferans ant pèsonèl medikal la e res popilasyon an. Moun ki oblije gen kontak ak moun, menm lè gen karantèn, moun sa yo pi gen chans vinn enfekte.
• Inegalite lan sosyete yo reflete nan evolisyon epidemi yo. Pa egzanp o Zetazini, moun koumanse remake ke COVID-19 afekte minorite nwa yo diferamman. An jeneral, moun ki pa gen bon aksè a swen sante, ki gen poumon ki fèb (a kòz de asm (opresyon), nemoni, sigarèt) pi afekte pa yon maladi tankou COVID-19.
• Geografi kote yon moun viv gen de enplikasyon pou jan maladi pwopaje. Si kote ou viv lan popilasyon an anpil, nan yon gwo vil, san mezi karantènn, ou gen plis chans vin enfekte ke yon moun ki pa viv pre okenn moun.

Apwòch matematik ki eseye pran bagay sa yo an konsiderasyon egziste, men yo depase sa nou kouvri la a. Men limit aparan sa yo pa dwe anpeche nou reflechi e enfòme nou.

Mwen espere ke atik sila ba ou anvi al aprann plis sou epidemyoloji, matematik, sante publik ak inegalite.

Eseye suiv konsiy sante publik yo, eseye pran swen tet tou. Kenbe fèm.

Ankouraje!

Tipan Verella